¿Cómo medimos el cambio en una función a lo largo de un intervalo?
La Pendiente de la Recta Secante
La Tasa de Cambio Promedio entre dos puntos de una función \(f(x)\) es simplemente la pendiente de la recta que los conecta, conocida como la recta secante.
Imagina que \(f(x)\) representa, por ejemplo, el costo total de producir \(x\) unidades. La tasa de cambio promedio nos diría cuánto cambia el costo por unidad al pasar de una cantidad producida a otra.
Esto es el “cambio en \(y\) sobre el cambio en \(x\)”.
Recta Secante
El Desafío: La Tasa de Cambio Instantánea
¿Qué sucede si queremos conocer la tasa de cambio en un instante específico? Aquí es donde el álgebra tradicional se queda corta.
De Secante a Tangente
Imaginemos que acercamos el segundo punto (\(x_2\)) cada vez más al primer punto (\(x_1\)). La recta secante empieza a girar y, en el límite, se convierte en la recta tangente, que toca la curva en un solo punto.
El problema surge cuando \(x_2\) se vuelve igual a \(x_1\), porque el denominador \((x_2 - x_1)\) se convierte en cero, lo que nos daría una división por cero en la fórmula de la pendiente.
Transición de Secante a Tangente
El Cociente Diferencial: Nuestra Herramienta
Para superar el problema de la división por cero, redefinimos la distancia entre los dos puntos como \(h\).
La Fórmula del Cociente Diferencial
Si tomamos un punto \(x\) y otro punto \(x+h\) (donde \(h\) es la distancia entre ellos), la pendiente de la recta secante se expresa como:
Esta expresión se conoce como el Cociente Diferencial. Es la base para pasar de las tasas de cambio promedio a las instantáneas.
Ilustración del Cociente Diferencial
La Derivada: Definición Formal
Para encontrar la tasa de cambio instantánea, aplicamos el concepto de límite al cociente diferencial.
De Cociente Diferencial a Derivada
La derivada de una función \(f(x)\) en un punto \(x=a\), denotada como \(f'(a)\), es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Se define formalmente como:
Cambio en el costo/ingreso/utilidad por una unidad adicional.
… pero todas significan lo mismo: la tasa de cambio instantánea.
La derivada es una herramienta que permite a medir el cambio, algo fundamental en mercados bursátiles, poblaciones y experimentos de laboratorio.
En el ámbito de los negocios, el concepto de “marginal” es relevante. Entender el costo marginal, el ingreso marginal o la utilidad marginal permite tomar decisiones sobre producción, precios y rentabilidad.
Notación de la Derivada
Existen varias formas de denotar la derivada de \(f(x)\):
\(f'(x)\) (se lee “f prima de x”)
\(y'\) (se lee “y prima”)
\(\frac{dy}{dx}\) (notación de Leibniz, se lee “dy dx” o “la derivada de y con respecto a x”)
\(\frac{df}{dx}\)
\(\frac{d}{dx}f(x)\)
Todas estas notaciones significan lo mismo: la derivada de la función.
Ejemplo: Derivada de una Función Cuadrática
Calculemos la derivada de \(f(x) = x^2 + 5x + 1\) en \(x=3\).
La pendiente de la recta tangente a \(f(x) = x^2 + 5x + 1\) en \(x=3\) es \(11\).
La Derivada como Función
Hemos calculado la derivada en un punto específico (\(x=a\)). Pero la derivada puede ser, en sí misma, una nueva función.
Una Regla General para la Pendiente
Si reemplazamos el valor específico ‘a’ por la variable general ‘x’ en la definición del límite, obtenemos una nueva función, \(f'(x)\), que nos da la pendiente de la recta tangente en cualquier punto \(x\) del dominio de \(f\):
Esta función derivada es mucho más potente, ya que nos permite encontrar la pendiente de la tangente para infinitos puntos sin tener que recalcular el límite cada vez.
Ejemplo: Derivada como Función
Calculemos la derivada de \(f(x) = 5x^3 - 8x\) como una función.
Ahora, si queremos la derivada en \(x=1\), solo sustituimos: \[f'(1) = 15(1)^2 - 8 = 7 \qquad \text{Mucho más rápido!}\]
Fallas en la Diferenciabilidad (1)
Una función no es diferenciable en un punto si su límite no existe. Esto ocurre en tres escenarios principales, incluso si la función es continua.
1. Puntos Angulosos (Cúspides o Esquinas)
La derivada no existe en puntos donde la gráfica tiene una esquina afilada o un pico. En estos puntos, la pendiente de la recta tangente cambia bruscamente.
Ejemplo:
La función valor absoluto \(f(x) = |x|\).
Para \(x>0\), \(f'(x) = 1\).
Para \(x<0\), \(f'(x) = -1\).
En \(x=0\), el límite de los cocientes diferenciales por la izquierda y por la derecha son diferentes (\(-1 \neq 1\)), por lo tanto, la derivada no existe.
Punto Anguloso: f(x) = |x|
Fallas en la Diferenciabilidad (2)
2. Tangentes Verticales
Ocurre cuando la pendiente de la recta tangente es infinita (o \(-\infty\)). Visualmente, la curva se vuelve vertical en ese punto.
Ejemplo:
\(f(x) = \sqrt[3]{x}\) en \(x=0\).
El límite del cociente diferencial en \(x=0\) tiende a infinito, lo que significa que la tangente es vertical.
Tangente Vertical: f(x) = ³√x
Fallas en la Diferenciabilidad (3)
3. Discontinuidades
Si una función no es continua en un punto, entonces no puede ser diferenciable en ese punto. La continuidad es una condición necesaria para la diferenciabilidad.
Ejemplo: Una función con un “salto” o un “agujero”. No se puede trazar una tangente única.
Discontinuidad: Función por Partes
Derivadas de Orden Superior
La primera derivada, \(f'(x)\), es una nueva función…
¿Podemos calcular la derivada de esa nueva función?
Derivadas de Orden Superior
¡Sí! Esto nos lleva a las Derivadas de Orden Superior, que nos brindan información aún más profunda sobre el comportamiento de una función.
Primera Derivada:\(f'(x)\) o \(\frac{dy}{dx}\)
Mide la velocidad de cambio de la función original (su pendiente).
En física: si \(f(x)\) es la posición, \(f'(x)\) es la velocidad.
Segunda Derivada:\(f''(x)\) o \(\frac{d^2y}{dx^2}\)
Es la derivada de la primera derivada.
Mide la velocidad de cambio de la primera derivada.
Indica cómo la pendiente está cambiando (si la función se está curvando hacia arriba o hacia abajo).
En física: si \(f(x)\) es la posición, \(f''(x)\) es la aceleración.
Tercera Derivada:\(f'''(x)\) o \(\frac{d^3y}{dx^3}\)
Mide la velocidad de cambio de la aceleración (conocida como “Jerk”).
Notación de Derivadas de Orden Superior
A medida que el orden de la derivada aumenta, la notación se adapta para ser más práctica y clara.
Para derivadas de orden 4 o superior, se usa una notación más compacta para evitar un exceso de “primas”:
Notación de Lagrange (con paréntesis):\(f^{(n)}(x)\)
Ej: Cuarta derivada: \(f^{(4)}(x)\)
Ej: Quinta derivada: \(f^{(5)}(x)\)
(El número entre paréntesis indica el orden de la derivada, no una potencia).
Notación de Leibniz (generalizada):\(\frac{d^ny}{dx^n}\)
Esta notación es más versátil para órdenes altos, ya que el superíndice indica claramente el orden.
Ejemplo: Cuarta derivada: \(\frac{d^4y}{dx^4}\)
Jerarquía de Derivadas
Las derivadas de orden superior son cruciales para entender el comportamiento complejo de las funciones en economía, finanzas y ciencia. Su estudio nos permite analizar cambios en las tasas de cambio, lo cual es vital para modelos predictivos y de optimización.
Ejemplo: Función Original \(f(x) = x^2\)
Tomemos la función cuadrática: \(f(x) = x^2\)
Esta es nuestra función base: una parábola que abre hacia arriba.
Función Original: f(x) = x²
Ejemplo: Primera Derivada de \(f(x) = x^2\)
Ahora, calculemos la primera derivada de \(f(x) = x^2\). \[f'(x) = 2x\]
Esta nueva función indica la pendiente de la recta tangente a \(f(x)\) en cualquier punto \(x\).
La pendiente es negativa para \(x<0\), cero en \(x=0\) y positiva para \(x>0\).
Primera Derivada: f’(x) = 2x
Ejemplo: Segunda y Tercera Derivada de \(f(x) = x^2\)
Segunda Derivada: f’’(x) = 2
Segunda Derivada:\(f''(x) = 2\)
Esta función nos dice cómo cambia la pendiente de \(f(x)\).
Un valor constante y positivo (\(2\)) indica que la función \(f(x)\) siempre está curvándose hacia arriba (es cóncava hacia arriba).
Tercera Derivada:\(f'''(x) = 0\)
La derivada de una constante es cero.
A partir de que una derivada es 0 todas las derivadas subsiguientes serán 0.
Derivadas de Orden Superior: Crecimiento y Concavidad
Las primeras y segundas derivadas nos brindan información valiosa sobre el comportamiento de una función.
Crecimiento y Decrecimiento (Primera Derivada)
Si \(f′(x) > 0\) en un intervalo, \(f(x)\) está creciendo en ese intervalo.
Si \(f'(x) < 0\) en un intervalo, \(f(x)\) está decreciendo en ese intervalo.
Si \(f′(x) = 0\) en un intervalo, \(f(x)\) es constante en ese intervalo.
Concavidad (Segunda Derivada)
La segunda derivada nos dice cómo está cambiando la primera derivada, es decir, cómo se curva la función.
Si \(f′′(x) > 0\) en un intervalo, \(f′(x)\) está creciendo (la pendiente aumenta). La función \(f(x)\) es cóncava hacia arriba (se curva como una taza).
Si \(f''(x) < 0\) en un intervalo, \(f′(x)\) está decreciendo (la pendiente disminuye). La función \(f(x)\) es cóncava hacia abajo (se curva como un arco).
Un Punto de Inflexión es donde la concavidad de la función cambia.
Análisis: Crecimiento, Decrecimiento y Concavidad
Examinemos el comportamiento de \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)
Análisis Integral de \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)
Derivadas de Orden Superior: Velocidad de Cambio
Combinar la información de la primera y segunda derivada nos permite entender si la tasa de cambio de la función se está acelerando o desacelerando.
La tasa de cambio se está acelerando (Speeding up):
\(f′(x) > 0\) y \(f′′(x) > 0\):
\(f(x)\) está aumentando a una tasa más rápida.
Ejemplo: Una inversión está creciendo cada vez más rápido.
Crecimiento Acelerado
\(f'(x) < 0\) y \(f''(x) < 0\):
\(f(x)\) está disminuyendo a una tasa más rápida.
Ejemplo: Las ventas están cayendo cada vez más rápido.
Decrecimiento Acelerado
Derivadas de Orden Superior: Velocidad de Cambio
La tasa de cambio se está desacelerando (Slowing down):
\(f′(x) > 0\) y \(f''(x) < 0\):
\(f(x)\) está aumentando a una tasa más lenta.
Ejemplo: El crecimiento de las ganancias se está estancando.
Crecimiento Desacelerado
\(f'(x) < 0\) y \(f′′(x) > 0\):
\(f(x)\) está disminuyendo a una tasa más lenta.
Ejemplo: La reducción de costos se está volviendo menos efectiva.
Decrecimiento Desacelerado
Estas interpretaciones son importantes para el análisis de tendencias en mercados financieros, proyecciones económicas y optimización empresarial.
Introducción a las Reglas de Derivación
Las reglas de derivación son atajos que nos permiten encontrar derivadas de manera mucho más rápida y eficiente, sin tener que pasar por todo el proceso de la definición de límite cada vez.
Simplifican el cálculo de la derivada.
Son esenciales a medida que las funciones se vuelven más complejas.
Son el “libro de reglas” para el juego del cálculo.
La Derivada como Límite
Es crucial recordar que las derivadas son fundamentalmente límites , específicamente, límites de cocientes diferenciales. Por lo tanto, las propiedades de los límites (las leyes de los límites) se aplican directamente a las derivadas.
Regla 1: La Derivada de una Función Constante (1)
La Regla Formal
Si tenemos una función \(f(x)\) que es siempre igual a un valor constante \(c\) (por ejemplo, \(f(x) = 5\), \(f(x) = -10\), o \(f(x) = \pi\)), entonces su derivada es siempre cero.
\[ \frac{d}{dx}(c) = 0 \]
Demostración por Definición de Límite
Para comprender por qué esta regla es válida, podemos usar la definición formal de la derivada:
\[
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\
\text{Dado que } f(x) = c \text{ para todo } x, \quad & \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} 0 \\
f'(x) &= 0
\end{align*}
\] Como la expresión se simplifica a \(0/h\) (que es 0 para cualquier \(h \neq 0\)), el límite es \(0\).
Regla 1: La Derivada de una Función Constante (2)
Intuición Geométrica
Imagina la gráfica de una función constante, como \(f(x)=c\). Esto es simplemente una línea horizontal. La derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente en ese punto. Para una línea horizontal, su propia pendiente es cero en cualquier punto. Por lo tanto, su derivada es 0.
Gráfica de una Función Constante
Ejemplo:
Si el costo de alquiler de una oficina es de $12,000 MXN al mes, independientemente de cuántos productos se vendan, ese costo es una función constante. La “derivada” de este costo fijo con respecto a la producción es cero, lo que significa que el costo de alquiler no cambia a medida que cambia la producción.
Esta regla, aunque sencilla, es la base para entender que aquello que no varía no tiene una tasa de cambio.
Regla 2: La Regla de la Potencia (Power Rule)
La regla de la potencia es una de las más útiles y frecuentes.
Identificando un Patrón
Hemos calculado derivadas de funciones no constantes como \(f(x)=x^2\) y \(f(x)=x^3\) usando la definición de límite:
Si \(f(x) = x^2\), entonces \(f'(x) = 2x\)
Si \(f(x) = x^3\), entonces \(f'(x) = 3x^2\)
Si \(f(x) = x^4\), entonces \(f'(x) = ???\)
Regla 2: La Regla de la Potencia (Power Rule)
La regla de la potencia es una de las más útiles y frecuentes.
Identificando un Patrón
Hemos calculado derivadas de funciones no constantes como \(f(x)=x^2\) y \(f(x)=x^3\) usando la definición de límite:
Si \(f(x) = x^2\), entonces \(f'(x) = 2x\)
Si \(f(x) = x^3\), entonces \(f'(x) = 3x^2\)
Si \(f(x) = x^4\), entonces \(f'(x) = 4x^3\)
¿Reconocen un patrón?
Regla 2: La Regla de la Potencia (2)
Definición Formal:
Si \(f(x) = x^n\), donde \(n\) es cualquier número real (entero, fracción, positivo, negativo), entonces la derivada es:
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} \]
El exponente original (\(n\)) “cae” al frente como un coeficiente, y el nuevo exponente se reduce en uno (\(n-1\)).
Ejemplos de la Regla de la Potencia
1. Potencias Enteras:
Si \(f(x) = x^5\), entonces \(f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4\).
Si \(f(x) = x^1\) (o simplemente \(x\)), entonces \(f'(x) = 1x^{1-1} = 1x^0 = 1\). (La pendiente de \(y=x\) es \(1\)).
Si \(f(x) = x^{-3}\), entonces \(f'(x) = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}\).
2. Radicales como Exponentes Fraccionarios:
\[
\begin{align*}
&f(x) = \sqrt{x} \quad \text{se puede reescribir como} \quad f(x) = x^{1/2} \\
&f'(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \\
&\text{Esto es lo mismo que} \quad \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}
\]3. Raíces Cúbicas y otras potencias:\[
\begin{align*}
& f(x) = \sqrt[3]{x^2} \quad \text{, se puede reescribir como} \quad f(x) = x^{2/3} \\
& \text{entonces} \quad f'(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \\
& \text{Esto es lo mismo que} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}
\end{align*}
\]
Regla 3: Constante Múltiple
Si tienes una función multiplicada por una constante, la constante “sale” de la derivada y simplemente derivas la función.
\[ \frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot \frac{d}{dx}[f(x)] \]
La constante \(c\) “la sacamos”.
Ejemplo:\(f(x) = 7x^2\)
Según la regla, el 7 sale: \(\frac{d}{dx}(7x^2) = 7 \cdot \frac{d}{dx}(x^2)\).
Sabemos que \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\) (por la Regla de la Potencia).
Entonces, \(f'(x) = 7 \cdot (2x) = 14x\).
Regla 4: Suma/Resta
Si tienes una suma o resta de funciones, puedes derivar cada término por separado y luego sumarlos o restarlos.
Este es un ejemplo de un problema de “múltiples pasos”, donde encontrar la derivada es solo el primer paso.
Recta Normal: La Perpendicular a la Tangente
Además de la tangente, existe otra línea importante asociada a una curva: la recta normal.
Definición de la Recta Normal
La Recta Normal a una curva \(f(x)\) en un punto \(P\) es la línea que pasa por \(P\) y es perpendicular a la línea tangente en ese mismo punto.
Este concepto es muy relevante en física (fuerza normal) y en cálculo multivariable.
Recordando la Perpendicularidad
Si dos líneas son perpendiculares, sus pendientes están relacionadas de una manera especial:
Si la pendiente de la línea 1 es \(m_1\), y la pendiente de la línea 2 es \(m_2\), entonces \(m_1 = -\frac{1}{m_2}\). La pendiente de la normal es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente.
Paso 2: Encontrar la derivada\(y'\) (pendiente de la tangente). \(y' = \frac{d}{dx}(4x^2 + 4x + 1) = 8x + 4\)
Paso 3: Evaluar\(y'\) en el punto dado para obtener \(m_{\text{tangente}}\).
En \(x=1\): \(m_{\text{tangente}} = y'(1) = 8(1) + 4 = 12\)
Paso 4: Encontrar la pendiente de la normal,\(m_{\text{normal}}\). \(m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangente}}} = -\frac{1}{12}\)
Paso 5: Encontrar la coordenada\(y\) del punto en la curva.
Sustituir \(x=1\) en la función original: \(y = (2(1)+1)^2 = (3)^2 = 9\) El punto es \((1, 9)\)
Paso 6: Usar la forma punto-pendiente para la ecuación de la normal. \(y - y_1 = m(x - x_1)\) \(y - 9 = -\frac{1}{12}(x - 1)\).
Regla 5: Funciones Exponenciales
La Función Exponencial General
Una función exponencial es de la forma \(f(x) = a^x\), donde:
\(a\) es la base (\(a > 0\) y \(a \neq 1\)).
Ejemplos: \(2^x, 3^x, (1/2)^x\).
Regla 5: Derivada de\(a^x\)
La derivada de una función exponencial general es la función misma multiplicada por el logaritmo natural de la base.
\[ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln(a) \]
La derivada es un múltiplo de la función original.
Derivada de \(2^x\) y \(e^x\)
Las funciones exponenciales son muy comunes en modelos de crecimiento (población, inversiones) y decaimiento.
Regla 5: Funciones Exponenciales
El Caso Especial: La Función Exponencial Natural\(e^x\)
Cuando la base es el número de Euler (\(e \approx 2.71828\)), la regla se simplifica:
\[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \ln(e) \] * Recordando que \(\ln(e) = 1\). * Por lo tanto: \[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \]
La función \(e^x\) es única porque su derivada es ¡ella misma! Esto la hace increíblemente útil en cálculo.
Derivada de \(2^x\) y \(e^x\)
Ejemplos Combinando Reglas de Derivación (1)
Deriva la función\(f(x) = 5x^4 + 3e^x\).
Ejemplos Combinando Reglas de Derivación
Deriva la función\(f(x) = 5x^4 + 3e^x\).
\[
\begin{align*}
\frac{d}{dx}(5x^4 + 3e^x) &= \frac{d}{dx}(5x^4) + \frac{d}{dx}(3e^x) & \text{Aplicamos la Regla de la Suma} \\
&= 5 \cdot \frac{d}{dx}(x^4) + 3 \cdot \frac{d}{dx}(e^x) & \text{Usamos la Regla de la Constante Múltiple} \\
&= 5 \cdot (4x^3) + 3 \cdot (e^x) & \text{Aplicamos la Regla de la Potencia y Exponencial} \\
&= 20x^3 + 3e^x & \text{Simplificamos}
\end{align*}
\]
Ejemplos Combinando Reglas de Derivación (2)
Deriva la función\(g(x) = x^e\).
Ejemplos Combinando Reglas de Derivación (2)
Deriva la función\(g(x) = x^e\).
\[
\begin{align*}
\frac{d}{dx}(x^e) &= e \cdot x^{e-1} & \text{Aplicamos la Regla de la Potencia} \\
\text{(donde e es una constante)} & &
\end{align*}
\]
Ejemplos Combinando Reglas de Derivación (3)
Deriva la función\(h(t) = 2t^{1/2} - 5t^{-2} + 4^t\).
Ejemplos Combinando Reglas de Derivación (3)
Deriva la función\(h(t) = 2t^{1/2} - 5t^{-2} + 4^t\).
El número \(e \approx 2.71828\) puede definirse como el valor de la base “a” que hace que un límite específico sea igual a 1.
\[e \text{ es la base tal que } \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1\]
¿De dónde viene este límite?
Este límite es, de hecho, la definición de la derivada de \(f(x) = a^x\) evaluada en \(x=0\). Recordemos la definición de la derivada:
\[
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & \text{Definición del límite de la derivada} \\
\text{Si } f(x) = a^x \text{, entonces:} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} & \text{Sustituimos } f(x) \text{ en la definición} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{a^x a^h - a^x}{h} & \text{Aplicamos la propiedad de los exponentes } (a^{m+n}=a^m a^n) \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{a^x (a^h - 1)}{h} & \text{Factorizamos } a^x \\
&= a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} & \text{Movemos } a^x \text{ fuera del límite (no depende de } h)
\end{align*}
\]
Para que la derivada de \(e^x\) sea \(e^x\) (es decir, \(f'(x) = f(x)\)), el límite \(\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}\) debe ser igual a 1. ¡El número \(e\) es precisamente la base \(a\) que cumple esta condición!
Regla 6: de la Cadena (Chain Rule)
La Regla de la Cadena es, sin duda, una de las reglas de derivación más importantes y utilizadas en el cálculo.
¿Cuándo usarla? Funciones Compuestas
La Regla de la Cadena se aplica cuando tenemos una composición de funciones, es decir, una función dentro de otra función.
Piensa en \(F(x) = f(g(x))\). Aquí, \(g(x)\) es la “función interna” y \(f(x)\) es la “función externa”.
La derivada de una composición de funciones \(F(x) = f(g(x))\) es:
\[F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
Se lee como: “La derivada de la función exterior (evaluada en la función interior sin cambios) multiplicada por la derivada de la función interior.”
Tip para memorizar: “Primero, la derivada de lo de afuera (dejas lo de adentro igual), por la derivada de lo de adentro.”
Regla 6: Ejemplos
Problema 1: Encuentra la derivada de\(y = (2x^3 + 5)^4\).
Sin la Regla de la Cadena: Tendrías que expandir \((2x^3 + 5)^4\) (¡cuatro veces!) y luego derivar el polinomio resultante. Es un proceso largo y propenso a errores.
Con la Regla de la Cadena:
Identifica la función externa (\(f\)) y la función interna (\(g\))
Externa \(f(u)\): \(u^4\) (donde \(u\) es “lo de adentro”)
Interna \(g(x)\): \(2x^3 + 5\)
Encuentra las derivadas de\(f\) y \(g\)
\(f'(u) = 4u^3\)
\(g'(x) = 6x^2\)
Aplica la fórmula:\(F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
\(F'(x) = 4(2x^3 + 5)^3 \cdot (6x^2)\)
Resultado:\(F'(x) = 24x^2(2x^3 + 5)^3\)
Ejemplo: Regla de la Cadena - Potencia
Regla 6: Ejemplos
La Regla de la Cadena se aplica a una vasta gama de funciones, incluyendo las trigonométricas y las que involucran radicales.
Problema 2: Función Trigonométrica Compuesta
Encuentra la derivada de \(y = \sin(\cos(x))\).
Esto es una composición, no una multiplicación.
Función externa (\(f\)): \(\sin(u)\).
Función interna (\(g\)): \(\cos(x)\).
Derivadas:
\(f'(u) = \cos(u)\).
\(g'(x) = -\sin(x)\).
Aplica la fórmula:\(y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).
\(y' = \cos(\cos(x)) \cdot (-\sin(x))\).
Resultado:\(y' = -\sin(x) \cos(\cos(x))\).
Importante: Usar paréntesis para evitar confusiones con restas.
Problema 3: Radical como Composición
Encuentra la derivada de \(y = \sqrt{2 - e^x}\).
Primero, reescribe el radical como un exponente fraccionario: \(y = (2 - e^x)^{1/2}\).
O en notación abreviada: \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\).
Consejo para memorizar: “Derivada del de arriba por el de abajo sin derivar, menos el de arriba sin derivar por la derivada del de abajo, todo sobre el de abajo al cuadrado.”
¡El orden de la resta en el numerador es crucial!
Esta regla es a menudo la “más complicada” debido a su estructura.
Demostración (Opcional, pero interesante)
Aunque no entraremos en la prueba detallada con límites aquí (es más compleja), la regla se puede derivar usando un truco algebraico clever o combinando la Regla del Producto y la Regla de la Cadena. ::: notes Introducir la regla del cociente. Presentar la fórmula formal. Enfatizar la importancia del orden de los términos en el numerador y el denominador. Mencionar que su demostración con límites es más compleja. :::
Ejemplos de la Regla del Cociente
Problema 1: Exponencial y Polinomio
Encuentra la derivada de \(y = \frac{2e^x + 5}{x^2 - 3}\).
Problema de Aplicación 1: Análisis de Crecimiento de Ventas
Escenario Empresarial
El número de unidades vendidas (\(V\)) de un nuevo producto en una tienda, \(t\) semanas después de su lanzamiento, puede modelarse mediante la función: \[ V(t) = -0.5t^2 + 10t + 50 \] Determine el intervalo de tiempo en el que las ventas están creciendo y el intervalo en el que están disminuyendo.
Problema de Aplicación 1: Análisis de Crecimiento de Ventas
Solución paso a paso
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, necesitamos encontrar la primera derivada de \(V(t)\) e identificar su signo.
\[
\begin{align*}
V'(t) &= \frac{d}{dt}(-0.5t^2 + 10t + 50) \\
V'(t) &= -0.5(2t) + 10(1) + 0 \\
V'(t) &= -t + 10
\end{align*}
\] Ahora, encontramos el punto crítico igualando \(V'(t)\) a cero: \[
\begin{align*}
-t + 10 &= 0 \\
t &= 10
\end{align*}
\] El punto crítico es \(t=10\). Dividimos la línea de tiempo (para \(t \ge 0\)) en intervalos basados en este punto.
Análisis del signo de\(V'(t)\):
Para\(0 \le t < 10\): Elegimos un valor de prueba, por ejemplo, \(t=5\). \(V'(5) = -5 + 10 = 5 > 0\). Dado que \(V'(t) > 0\), las ventas están creciendo en este intervalo.
Para\(t > 10\): Elegimos un valor de prueba, por ejemplo, \(t=15\). \(V'(15) = -15 + 10 = -5 < 0\). Dado que \(V'(t) < 0\), las ventas están disminuyendo en este intervalo.
Conclusión: Las ventas del nuevo producto están creciendo durante las primeras 10 semanas después del lanzamiento, y comienzan a disminuir a partir de la semana 10.
Problema de Aplicación 2: Análisis de Costos
La segunda derivada nos ayuda a entender si una tasa de cambio se está acelerando o desacelerando, lo cual es crucial para identificar economías o deseconomías de escala en los costos.
Escenario Empresarial
Una empresa de servicios de consultoría estima que su costo total de operación semanal, \(C(x)\), en miles de pesos, para servir a \(x\) clientes, está modelado por: \[ C(x) = 0.002x^3 - 0.3x^2 + 25x + 500 \] Determine los intervalos de \(x\) donde la función de costo es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, e identifique cualquier punto de inflexión.
Problema de Aplicación 2: Análisis de Costos
Solución paso a paso: necesitamos calcular la primera y segunda derivada de \(C(x)\).
Segunda derivada:\[
\begin{align*}
C''(x) &= \frac{d}{dx}(0.006x^2 - 0.6x + 25) \\
&= 0.006(2x) - 0.6 \\
C''(x) &= 0.012x - 0.6
\end{align*}
\]Puntos de inflexión: igualamos \(C''(x)\) a cero: \[
\begin{align*}
0.012x - 0.6 &= 0 \\
0.012x &= 0.6 \\
x &= \frac{0.6}{0.012} \\
x &= 50
\end{align*}
\]
El punto crítico de la segunda derivada es \(x=50\). Dividimos el dominio (\(x \ge 0\)) en intervalos:
Análisis de Signo de\(C''(x)\):
Para\(0 \le x < 50\): Elegimos \(x=20\). \(C''(20) = 0.012(20) - 0.6 = 0.24 - 0.6 = -0.36 < 0\). Dado que \(C''(x) < 0\), la función de costo es cóncava hacia abajo en este intervalo. Esto sugiere que el costo marginal está disminuyendo (economías de escala).
Para\(x > 50\): Elegimos \(x=80\). \(C''(80) = 0.012(80) - 0.6 = 0.96 - 0.6 = 0.36 > 0\). Dado que \(C''(x) > 0\), la función de costo es cóncava hacia arriba en este intervalo. Esto sugiere que el costo marginal está aumentando (deseconomías de escala).
Problema de Aplicación 2: Análisis de Costos
Punto de Inflexión: Hay un punto de inflexión en \(x=50\). Para encontrar la coordenada \(y\), evaluamos \(C(50)\): \(C(50) = 0.002(50)^3 - 0.3(50)^2 + 25(50) + 500 = 0.002(125000) - 0.3(2500) + 1250 + 500 = 250 - 750 + 1250 + 500 = 1250\). El punto de inflexión es \((50, 1250)\).
Conclusión: La función de costo es cóncava hacia abajo de\(0\) a \(50\) clientes (costo marginal decreciente) y cóncava hacia arriba a partir de\(50\) clientes (costo marginal creciente). El punto de inflexión en \((50, 1250)\) indica el nivel de clientes donde las economías de escala cambian a deseconomías.
Análisis de Concavidad de la Función de Costos
Problema de Aplicación 3: Maximización de la Utilidad para un Monopolista
La derivada, como herramienta de optimización, nos permite encontrar el nivel de producción que maximiza la utilidad de un monopolio, donde el precio depende de la cantidad vendida.
Escenario Empresarial
Una empresa monopolista enfrenta una función de demanda para su producto dada por: \[ p(x) = 100 - 0.5x \] donde \(p\) es el precio unitario y \(x\) es la cantidad de unidades vendidas. La función de costo total de la empresa es: \[ C(x) = 400 + 10x + 0.1x^2 \] Determine el nivel de producción (\(x\)) que maximiza la utilidad de la empresa.
Problema de Aplicación 3: Maximización de la Utilidad para un Monopolista
Solución paso a paso
La utilidad \(P(x)\) se define como Ingreso total menos Costo total: \(P(x) = R(x) - C(x)\).
Paso 3. Encontrar la primera derivada de \(P(x)\): \[
\begin{align*}
P'(x) &= \frac{d}{dx}(-0.6x^2 + 90x - 400) \\
P'(x) &= -0.6(2x) + 90 \\
P'(x) &= -1.2x + 90
\end{align*}
\]Paso 4. Igualamos \(P'(x)\) a cero para encontrar el punto crítico (máxima utilidad): \[
\begin{align*}
-1.2x + 90 &= 0 \\
1.2x &= 90 \\
x &= \frac{90}{1.2} \\
x &= 75
\end{align*}
\]
Problema de Aplicación 3: Maximización de la Utilidad para un Monopolista
El nivel de producción crítico es \(x=75\) unidades. Para confirmar que es un máximo, usamos la segunda derivada: \[
\begin{align*}
P''(x) &= \frac{d}{dx}(-1.2x + 90) \\
P''(x) &= -1.2
\end{align*}
\]
Dado que \(P''(75) = -1.2 < 0\), esto confirma que \(x=75\) unidades es un máximo local.
Conclusión:
La empresa debe producir y vender 75 unidades para maximizar su utilidad.
Utilidad Máxima: \(P(75) = -0.6(75)^2 + 90(75) - 400 = -0.6(5625) + 6750 - 400 = -3375 + 6750 - 400 = 2975\) La utilidad máxima es de $2,975 MXN
Precio Óptimo: \(p(75) = 100 - 0.5(75) = 100 - 37.5 = 62.5\)
El precio al que se venderán es de $62.50 MXN por unidad
Función de Utilidad del Monopolista
Problema de Aplicación 4: Elasticidad de la Demanda y su Impacto en Ingresos
La elasticidad de la demanda mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante un cambio en el precio. Es una herramienta clave para las decisiones de precios y estrategias de ingresos.
Escenario Empresarial
La función de demanda para un software de gestión empresarial está dada por: \[ x(p) = 5000 - 100p \] donde \(x\) es el número de licencias demandadas y \(p\) es el precio en MXN. Determine la elasticidad de la demanda (\(\eta\)) cuando el precio es:
\(p = \$20\)
\(p = \$40\)
Luego, interprete cómo un pequeño aumento de precio afectaría el ingreso total en cada caso.
Problema de Aplicación 4: Elasticidad de la Demanda y su Impacto en Ingresos
Solución paso a paso: la fórmula de la elasticidad de la demanda es: \(\eta = \frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}\)
Interpretación: Como \(-1 < \eta < 0\) (es decir, \(\eta = -2/3\)), la demanda es inelástica. Esto significa que un pequeño aumento en el precio causaría que el ingreso total aumente. Los clientes son relativamente insensibles al cambio de precio.
Interpretación: Como \(\eta < -1\) (es decir, \(\eta = -4\)), la demanda es elástica. Esto significa que un pequeño aumento en el precio causaría que el ingreso total disminuya. Los clientes son muy sensibles al cambio de precio y dejarían de comprar en grandes cantidades.
Problema de Aplicación 4: Elasticidad de la Demanda y su Impacto en Ingresos
Conclusión: La elasticidad varía con el precio. Para precios bajos, la demanda es inelástica y un aumento de precio eleva los ingresos. Para precios altos, la demanda se vuelve elástica y un aumento de precio reduce los ingresos.
